Two Fluid Plasma Wave (2)

  안녕하세요. Two Fluid Plasma 에 대해서 계속 이어 포스팅 하겠습니다.

  저번 시간에서 마지막에 4개의 방정식을 소개해드렸습니다.

위의 Notation으로 표기 하였습니다.

(연속방정식)

(Momentum Equation)

(맥스웰 방정식)

  이처럼 4개의 방정식이 있는데요, 첫 번째는 연속방정식으로 플라즈마를 유체로 보겠다는 의미가 담겨 있습니다. 시간에 따른 개수밀도의 변화는 발산하는 플럭스의 양과 같다는 의미입니다.

여기엔 flux의 의미가 담겨 있습니다.

 

  두 번째는 모멘텀 방정식입니다.

  이제 조금 이해가 되시는지 모르겠습니다. 기존 힘 F=ma의 식에 밀도를 곱한 식인데요, 이렇게 곱하면 Volume force의 의미를 가지게 됩니다. 유체가 미는 힘을 기술하기 위함입니다. 그리고 미분이 이렇게 바뀌는 것은 convection derivation 변환 입니다.

  그리고 오른쪽 식의 첫 번째 항은 Lorentz force의 의미를 가지고 2번째 항은 Pressure force 3번째 항은 마찰의 의미 입니다.

  실제로 Two Fluid 에서는 첫 번째 항까지만 써서 유도를 하도록 하겠습니다. 첫 번째 항만 써도 필요한 현상이 설명됩니다.

  Maxwell eq 는 참고서적을 참고 하시길 바랍니다.

  위의 식을 푸려면 먼저 선형화의 작업을 거쳐야 합니다.

  물리량에 이 만큼의 섭동(Perturvation)을 준다고 생각하면 파동이 생기겠죠? 플라즈마에 어떤 요인에 의해 섭동이 발생 했을때, 예를 들면 플라즈마에 전자기파가 지나간다 던지 하면 생기는 섭동들이 생겼을때 플라즈마 안에서는 이 파동들이 어떤식으로 진행하는지 어떻게 변화하는지 그것을 보고 싶어 계산을 하는 것 입니다.

 

  물리량에 이 이만큼의 섭동을 주겠습니다.

이러면 계산하기가 훨씬 수월해 집니다.

 

  이렇게 변환이 가능합니다.  이를 적용하고 Second order term을 제거하면,

  훨씬 납득이 쉬워지는 식으로 변했습니다.

이를 연립해서 정리하면,

 

 

 

  섭동자기장의 회전은 Dielectric contant 와 섭동 전기장의 곱으로 정리가 됩니다.

 

  이제 파의 진행방향을 조건으로 걸어 둡니다.

 

  파의 진행방향인 k벡터가 yz평면 있다고 가정합시다. (계산이 쉽게 되도록)

항등식이 만들어졌습니다.

이 행렬식에서 non-trivial solution을 구해서 첫번째 항을 determinent 해서 0을 나오게 만들면

 

  Two Fluid Wave Dispersion Relation 의 full expresion 이 만들어 졌습니다.

  이 방정식을 이용하면 파동의 Wave Normal Angle() 에 따라서 파동의 dispersion을 알 수 있는 그래프를 만들 수 있습니다.

 

(Whistler mode wave)

  위의 그림은 R-mode wave의 대표적인 Whistler mode wave입니다. 잘보면 입자들이 반시계 모양으로 회전 하는것을 볼 수 있습니다. 위의 방정식을 잘 풀다 보면 이러한 웨이브를 해석 할 수 있습니다.

다음 포스팅에선 WNA가 0도 일때 물리적 의미를 살펴 보겠습니다.