'about My major/Space Science'에 해당되는 글 8건

전자가 자기장을 따라서 움직일때 전자가 느끼는 자기장의 파동은 전자의 속도에 따라 Frequency가 달라진다.

전자가 파동을 지나갈때 느끼는 주파수가 상대주파수 이다. 이 상대 주파수가 전자의 Gyro frequency와 정수배로 일치 하면 resonance가 일어난다.

Electron gyro frequency는 전하의 부호가 무엇이 되든 무조건 양수가 되게 절대값 으로 설정 했다.

N의 부호는 Frequency의 방향과 관련이 있다. 양의 Frequency란 반시계 방향으로 도는것이고 음의 Frequency란 시계 방향으로 도는것이다. R-mode wave는 반시계 방향으로 돌고, L-mode wave는 시계방향으로 돈다. 우리는 Electron gyro frequency가 무조건 양수 이므로 N이 + 값이면 오른쪽 항이 - 부호를 가지게 되므로 L-mode wave를 위한 Resonance condition 이라 할 수 있다.

우주에서  2MeV 이상의 에너지를 가진 입자는 그 개수가 많이 떨어지므로 우리는 그 이하의 에너지 대역에 관심을 가지도록 하자.

0.5MeV ~ 2MeV : Geophysically interesting energy (relativistic)

입자가 Relativistic해질 수록 입자가 cyclotron하는 길이는 늘어나므로 주파수는 적어진다. 주파수가 점점 줄어들어 EMIC 대역 (near Proton cyclotron frequency) 까지 줄어들면 EMIC Wave의 Frequency도 Resonance를 일으키는데 상당히 중요해 지지만 보통은 그 정도 까지 가속된 입자는 많지 않으므로 EMIC를 다룰땐 파동의 Frequency는 무시해도 된다.

 장반경이 a 단반경이 b인 타원의 방정식이 완성 되었다.

  입자와 wave의 resonance condition은 자기장과 평행한 입자의 속도에만 관련이 있으므로, resonance condition을 생각했을때 특정한 파수와 주파수를 가진 wave에 대해서 Resonance를 일으 킬 수 있는 평행한 속도성분은 정해져 있으므로, 입자의 속도가 자기장과 평행한 성분과 수직한 성분이 동시에 있는것 보다, 자기장과 평행한 성분만 있을때 Resonance를 일으킬 수 있는 입자의 에너지가 가장 적다.

 특정한 파수와 주파수를 가진 wave에 대해서 최소한 어느정도의 에너지를 가지고 있어야 Resonance를 일으 킬수 있는지를 계산하기 위해서 자기장의 수직한 속도성분을 0 으로 하고 정리를 한다.

특정한 파수와 주파수를 가진 Wave와 resonance를 일으키려면 최소한 이정도의 평행한 속도 성분을 가져야 함이 나왔다. 이것을 에너지 관계식에 넣으면 Minimum resonance energy가 계산된다. 

Gradient B 환경에서 Single particle의 운동을 보기 위해 운동방정식을 세운다.

이제 Gradient B 하에서 각속도를 보겠습니다.

이제 Cyclotron 운동하는 속도를 uniform자기장 하에서 운동하려는 속도 성분과 non-uniform 하에서 drift하는 속도 성분을 나눠서 생각해보겠다.

여기에서 zeroth-order term은 uniform B하에서의 Cyclotron 운동이다.

Second-order term은 매우 작다.

우리는 first-term의 작용만 보기 위해 first-order term만 살려두기로 한다.

이제 이것을 적분해주면 drift 속도가 나온다.

한 주기동안 drift속도를 보기위해 양변을 주기 T로 나눠준다.

이제 Gyro-motion에서 식을 가져온다.

Gradient -B에서의 Drift 속도를 구해봤습니다.

에서 가 0 이라면 도 당연히 0이 된다. 즉 외력이 작용하지 않으면 운동량은 항상 보존된다. 운동량이 보존된다는 사실로 많은 계산이 쉽게 이루어 질 수 있다.  이렇게 물리학자들은 무언가 보존되는량을 열심히 찾으려한다. 그러면 외력이 작용한다면 그 계에서도 보존되는량을 찾을 수 있지 않을까?

우주에서는 변화하는 자기장에 따라 많은 현상들이 생겨나므로 자기장이 바뀌었을때 어떤 물리량이 보존되는지 살펴 볼것이다.

(출처 : http://physics.stackexchange.com/questions/72166/what-is-canonical-momentum)

간단하게 하전입자가 하나 있다고 했을때 보존되는 물리량을 살펴 볼것이다. 전선에 전류가 흐르지 않는다면 하전입자는 가만히 있을것이다. 하지만 갑자기 전류를 흘려보내준다면

에 의해서 자기장의 변화에 따라 전기장이 생김으로써 입자는 v의 속도를 가지고 움직이게 된다.

 변하는 자기장하에서 보존되는 물리량을 찾았다. 이것을 Canonical momentum이라고 한다. 이제 이런 운동량이 보존됨으로써 어떤 물리량이 보존되는지를 보기 위해 Action integral 을 도입하여 보겠다.

이런 적분은 주기적인 운동일때 정의 가능합니다. 그리고 주기성의 변화가 적으면 Action integral 은 보존된다.

주기 운동을 하는 Cyclotron motion 을 예로 들겠다.

이렇게 해서 magnetic moment의 양은 보존됨을 알수 있다.

익숙한 이 행렬을 determinent 하면 아래와 같은 General한 식이 나옵니다.

이것을 근의 공식을 이용해 w에 대한 n^2의 식으로 나타내면 그래프를 그릴 수 있습니다.

  이 그래프를 보시면 위의 그래프가 굴절률 제곱의 그래프이고 아래 그래프는 그의 역수 입니다. 주파수가 매우 작은 영역은 MHD(Magnetohydro dynamic)의 영역이 됩니다. 그래프의 스케일이 커서 작은영역은 잘 보이지 않고, 그 다음 보이는 것이 Whistler mode wave입니다. 이 Wave의 특성은 주파수가 커질수록 빨라지는 특성이 있습니다. 그래서 주파수가 빠른 Wave가 먼저 도착하고 작은 Wave는 늦게 도착해서 그 소리가 마치 휘파람 소리와 비슷하다고 해서 Whistler Wave가 되었습니다. 그 다음 Electron Cyclotron Frequency에서 Wave의 굴절률이 급격하게 상승하는 지역이 있습니다. 이 구간이 Resonence를 일으키는 구간입니다. R-mode Wave는 전자와 상호작용해서 Resonence를 일으킵니다. 쉽게 이야기 하지만 서로 도는 방향이 같기 때문입니다. 그 다음 Cut-off frequency가 보입니다. Cut-off frequncy는 파가 진행하지 못하는 주파수 대역입니다.

위 그림은 n^2 vs w 그래프에서 조금 더 방정식을 풀어 w vs k의 그래프로 나타냈습니다. 이 그래프에서는 조금더 Cut-off frequncy의 특성을 잘 볼수 있습니다. 그리고 높은 주파수 영역에서는 기울기가 빛과 비슷해지면서 Plasma Wave에서 빛의 영역으로 가는것을 볼 수 있습니다.

Cut-off frequency란 Wave에서 주파수가 끊기는 주파수를 말합니다. plasma wave에서는 주파수가 커지면 굴절률이 0이 되는 주파수도 있고, 위 그래프에 보이는것과 같이 굴절률이 급격히 상승하는 주파수도 있습니다.그 중 굴절률이 0이 되는 주파수를 Cut-off frequency라고 합니다. 그리고 굴절률이 급격히 상승하는 주파수는 Resonence frequency라고 합니다.

Cut-off Frequency에서는 위상속도가 무한대가 되고 파수가 0이 됩니다. Wave가 일반적으로 반사됩니다.

굴절률이 무한대가 되는 주파수에서는 2가지 경우가 있습니다.

(1) Wave가 입자에 에너지를 부여하고 사라진다.

(2) 입자의 에너지가 Wave에 전달되어 Wave의 Resonance가 일어난다.

2번째의 경우가 조금 더 많긴 하지만 상황에 따라 다릅니다. 추후 포스팅에서 다루겠습니다.

 우리는 자기장과 평행한 Two Fluid Plasma Wave의 Polarization에 대해서 다음과 같이 정의 했습니다.

n 굴절률에 따라 편광되는 방향이 달라집니다.

 일 경우  로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -i만큼 차이 나게 됩니다.

이것은 무슨의미 일까요? 먼저, 오일러 공식을 살펴보면

실수부와 허수부의 위상차이가 딱 90도가 나게 됩니다. 여기에 복소수를 곱하면 어떻게 될까요?

실수부가 cos이 sin으로 바꼇습니다. 위상이 90도 앞으로 가게 됬습니다. 그래서 위상이 i만큼 차이난다는것은 90도만큼 차이가 있다는것입니다.

다시 앞으로 가서,

일경우 이란 식이 나옵니다. 이것을 우리가 볼 수 있는 실수부만 보이게 하겠습니다.

(z=0 에서 봤을때 시간에 따른 R-mode polarization 전기장의 방향)

전기장이 반시계 모양으로 회전 합니다.

(Right-hand Polarization Wave)

일 경우

로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -만큼 차이 나게 됩니다.

(z=0 에서 봤을때 시간에 따른 L-mode polarization 전기장의 방향)

(Left-hand Polarization Wave)

 앞선 포스팅에서 Two Fluid Plasma Wave의 Dispersion Relation을 구해 봤는데요 이제 그의 물리적 의미를 살펴보도록 하겠습니다.

먼저 앞서 유도한 Dispersion Relation의 행렬식을 가져와 보겠습니다.

여기에서 이제 인 경우 즉, 파동의 방향이 자기장과 평행인 경우를 살펴보겠습니다. 파동의 방향이 자기장과 평행인 경우는 인 경우 입니다.

으로 정리가 됩니다. 이를 연립해서 정리하면.

으로 정리 할 수 있습니다. 이를 풀어보면

이렇게 파동의 굴절률(Index of reflection)을 정리할 수 있습니다. 이게 어떤 파동일까요? 특성을 알아 봅시다.

 맥스웰 방정식의 사용하지 않은 2개의 방정식으로 부터 전자기파의 특성을 볼 수 있습니다.

그리고

전기장의 z성분은 없으므로

전기장을 x성분과 y성분 그리고 파동으로 정의 할 수 있습니다.

 일 경우

 로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -i만큼 차이 나게 됩니다.

(Right-hand Polarization Wave)

일 경우

로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -만큼 차이 나게 됩니다.

(Left-hand Polarization Wave)

  일반적으로 직관으로 생각하면 위상이 i만큼 차이 난다는것은 90도 만큼 차이나는 것을 뜻합니다.

 이것을 잘보면 Right-hand Polarization Wave는 전자의 gyro motion 방향과 일치하고 Left-hand Polarization Wave 이온의 gyro motion 방향과 일치 합니다. 나중에 보면 이 회전하는 전기장이 전자나 이온과 공명(Resonence)를 일으켜 에너지를 전달하게 됩니다.

그럼 이제 만약 굴절률이 -(Negative)가 되면 어떻게 될까요?

파수(Wave Number)가 Complex Number로 나왔습니다.

지수 부분이 공간적으로 decaying되는 solution이 나왔습니다.

(damping 되는 파동)

어짜피 없어지는 파동이기 때문에 굴절률이 -인 파동은 다루지 않습니다.
 

  안녕하세요. Two Fluid Plasma 에 대해서 계속 이어 포스팅 하겠습니다.

  저번 시간에서 마지막에 4개의 방정식을 소개해드렸습니다.

위의 Notation으로 표기 하였습니다.

(연속방정식)

(Momentum Equation)

(맥스웰 방정식)

  이처럼 4개의 방정식이 있는데요, 첫 번째는 연속방정식으로 플라즈마를 유체로 보겠다는 의미가 담겨 있습니다. 시간에 따른 개수밀도의 변화는 발산하는 플럭스의 양과 같다는 의미입니다.

여기엔 flux의 의미가 담겨 있습니다.

  두 번째는 모멘텀 방정식입니다.

  이제 조금 이해가 되시는지 모르겠습니다. 기존 힘 F=ma의 식에 밀도를 곱한 식인데요, 이렇게 곱하면 Volume force의 의미를 가지게 됩니다. 유체가 미는 힘을 기술하기 위함입니다. 그리고 미분이 이렇게 바뀌는 것은 convection derivation 변환 입니다.

  그리고 오른쪽 식의 첫 번째 항은 Lorentz force의 의미를 가지고 2번째 항은 Pressure force 3번째 항은 마찰의 의미 입니다.

  실제로 Two Fluid 에서는 첫 번째 항까지만 써서 유도를 하도록 하겠습니다. 첫 번째 항만 써도 필요한 현상이 설명됩니다.

  Maxwell eq 는 참고서적을 참고 하시길 바랍니다.

  위의 식을 푸려면 먼저 선형화의 작업을 거쳐야 합니다.

  물리량에 이 만큼의 섭동(Perturvation)을 준다고 생각하면 파동이 생기겠죠? 플라즈마에 어떤 요인에 의해 섭동이 발생 했을때, 예를 들면 플라즈마에 전자기파가 지나간다 던지 하면 생기는 섭동들이 생겼을때 플라즈마 안에서는 이 파동들이 어떤식으로 진행하는지 어떻게 변화하는지 그것을 보고 싶어 계산을 하는 것 입니다.

  물리량에 이 이만큼의 섭동을 주겠습니다.

이러면 계산하기가 훨씬 수월해 집니다.

  이렇게 변환이 가능합니다.  이를 적용하고 Second order term을 제거하면,

  훨씬 납득이 쉬워지는 식으로 변했습니다.

이를 연립해서 정리하면,

  섭동자기장의 회전은 Dielectric contant 와 섭동 전기장의 곱으로 정리가 됩니다.

  이제 파의 진행방향을 조건으로 걸어 둡니다.

  파의 진행방향인 k벡터가 yz평면 있다고 가정합시다. (계산이 쉽게 되도록)

항등식이 만들어졌습니다.

이 행렬식에서 non-trivial solution을 구해서 첫번째 항을 determinent 해서 0을 나오게 만들면

  Two Fluid Wave Dispersion Relation 의 full expresion 이 만들어 졌습니다.

  이 방정식을 이용하면 파동의 Wave Normal Angle() 에 따라서 파동의 dispersion을 알 수 있는 그래프를 만들 수 있습니다.

(Whistler mode wave)

  위의 그림은 R-mode wave의 대표적인 Whistler mode wave입니다. 잘보면 입자들이 반시계 모양으로 회전 하는것을 볼 수 있습니다. 위의 방정식을 잘 풀다 보면 이러한 웨이브를 해석 할 수 있습니다.

다음 포스팅에선 WNA가 0도 일때 물리적 의미를 살펴 보겠습니다.

  안녕하세요. 첫 번째로 블로깅을 하는데요, 이 블로그는 제가 수업받는 내용을 정리하는 차원에서 블로그를 만들었습니다. 또 어려운 내용을 여러 사람들과 한글로 소통하고 싶어 블로그를 만들었습니다.

  저는 우주과학을 공부하는데요, 우주과학에서 연구하는 내용들은 현장관측(In-situ observation)이 가능한 우주공간을 포함합니다. 즉 인간이 만들어낸 인공위성이 관측가능한 우주공간을 연구합니다. 우주과학의 중요성은 현대(1900년대)에 들어와서 주목을 받기 시작합니다. 왜냐하면 산업혁명을 통해 각종 산업이 발전함과 동시에 사람들에게 전자제품, 전자기기들이 일상화 되었기 때문입니다. 현대에서는 이런 전자기기들이 없어서는 생활이 안되는 생활권에 들어왔기 때문에 우주과학의 연구는 중요성을 가지게 됩니다.

  (지구 자기권과 태양풍의 상호작용)

  우주공간에서의 주요 관측대상은 전자기적인 현상입니다. 전자기적 현상에서도 대부분 플라즈마의 흐름이나 플라즈마의 에너지, 파동등을 많이 연구합니다. 왜냐하면 우주공간에서의 물질은 대부분 플라즈마 상태로 존재합니다. 지구에서는 대부분 태양에서 태양풍을 통해 지구까지 날아온 플라즈마들이 지구 자기권과 상호작용하며 각종 현상을 일으킵니다. 이런 전자기적인 현상들은 우주공간에 떠있는 위성에 피해를 주기도 하고, 지상에서는 자기폭풍(Storm)이나 Sub-storm을 통해 통신에 장애를 주기도 합니다. 만약 이런 지구자기권이 없다면 태양 플라즈마들이 지상으로 그대로 유입이 되어 인간은 존재할 수도 없을 것입니다.

  이처럼 우주를 이해하기 위해서는 플라즈마에 대한 이해가 필수적입니다. 지구 자기권으로 유입된 플라즈마는 자기권과 상호작용을 통해 에너지가 상승하게 됩니다. 이것을 가속된다고 표현합니다. 전자들은 지구 자기권 내에서 상대론적으로 볼 수 있을만큼까지 가속되는 전자(Relativitic Electron)들도 있습니다. 이런 특성을 이해하기 위해 두 가지 기작을 생각하게 됩니다. 첫 번째는 자기 재결합, 두 번째는 플라즈마 파동을 통한 입자의 가속을 생각할수 있습니다. 자기 재결합도 전자를 가속시킬수 있는 기작중에 하나이긴 하지만 상대론적으로 까지 가속시킬수 없습니다. 그래서 플라즈마 파동(Plasma Wave)을 이해하게 되는데 플라즈마 파동의 Circular Frequency가 전자의 Cyclotron Frequency와 맞게 되면 공명을 하게 되는데 이러한 기적으로 전자들이 가속될수 있습니다.  저는 이런 플라즈마 웨이브를 공부 하고 있습니다. 자기 재결합에 대한 내용은 추후에 포스팅 하도록 하겠습니다.

(Cyclotron motion ion)

(원형편광된 파동)

  이런 플라즈마 파동를 해석하기 위해서는 두 가지 방법이 있습니다. 첫 번째로는 미시적(Micro Scopic)하게 플라즈마 입자 하나하나의 운동의 역학을 분석하는 관점과 두 번째는 플라즈마 입자를 거시적(Macro Scopic)하게 유체로 보는관점에서 분석하는 방법 두 가지 방법이 있습니다. 입자 하나하나를 보고자 한다면 정확하겠지만, 계산량이 방대하고 실제로 없는 현상도 해로 많이 나오기 때문에 유체역학을 전자기학과 결합시켜 풀기 시작했습니다. 이렇게 나온 학문이 MHD(Magnetohydro Dynamics)입니다. MHD는 플라즈마를 전자 한 개 종류의 입자로 보고 전기장과 자기장을 유체역학에 접목시켜 해를 풀게 됩니다. 하지만 실제로 플라즈마는 전자와 Ion들로 이뤄져 있기 때문에 MHD로는 해석할수 있는 현상들에 한계가 있습니다.  그래서 MHD는 Two Fluid Plasma Wave로 발전하게 됩니다. 바로 전자와 ion을 유체역학 관점에서 해석하게 됩니다. 이로써 많은 현상을 이해 할수 있게 되었지만 이 역시 ion의 종류가 여러가지 이기 때문에 한계점이 있습니다. 그래서 Multiful Fluid Plasma Wave가 나오게 됩니다. 저는 일단 Two Fluid Plasma 에서 Multiful Fluid Plasma까지 포스팅할 계획입니다.

  Two Fluid Plasma를 해석하기 위해서는 아래 크개 3가지 방정식을 연립해서 풀게 됩니다.

(연속방정식)

(Momentum Equation)

(멕스웰 방정식)

첫 번째는 들어온 Flux와 나가는 Flux가 같다는 의미의 그 유명한 연속방정식입니다.

두 번째는 플라즈마를 덩어리로보고 각종 힘을 기술하는 Momentum equation입니다. F=ma와 같은 식이라고 생각하면 됩니다.

세 번째는 그 유명한 멕스웰 방정식입니다.

멕스웰 방정식의 첫 번째는 정전기장(Eletrostatic field)은 발산한다는 의미 이고,

두 번째는 자기홀극(Monopole)은 없다.

세 번째는 자기장의 근원은 흐르는 전하(전류)와 변위전류라는 의미이고

네 번째는 시간에 따라 변하는 자기장은 전기장을 만든다는 의미입니다.

위의 식들을 결합하려면 다소 어려워 보이지만 적절한 근사를 통해 계산 할수 있습니다.

위와 같은 계산을 통해 Wave의 특성을 산출 할 수 있습니다. 이런 Wave는 Plasma라는 물질속에서 밀도와 자기장에 따라 성질이 변하게 됩니다.

다음 계산은 다음 포스팅을 통해 전해드리도록 하겠습니다.