전자가 자기장을 따라서 움직일때 전자가 느끼는 자기장의 파동은 전자의 속도에 따라 Frequency가 달라진다.

전자가 파동을 지나갈때 느끼는 주파수가 상대주파수 이다. 이 상대 주파수가 전자의 Gyro frequency와 정수배로 일치 하면 resonance가 일어난다.

Electron gyro frequency는 전하의 부호가 무엇이 되든 무조건 양수가 되게 절대값 으로 설정 했다.

N의 부호는 Frequency의 방향과 관련이 있다. 양의 Frequency란 반시계 방향으로 도는것이고 음의 Frequency란 시계 방향으로 도는것이다. R-mode wave는 반시계 방향으로 돌고, L-mode wave는 시계방향으로 돈다. 우리는 Electron gyro frequency가 무조건 양수 이므로 N이 + 값이면 오른쪽 항이 - 부호를 가지게 되므로 L-mode wave를 위한 Resonance condition 이라 할 수 있다.

우주에서  2MeV 이상의 에너지를 가진 입자는 그 개수가 많이 떨어지므로 우리는 그 이하의 에너지 대역에 관심을 가지도록 하자.

0.5MeV ~ 2MeV : Geophysically interesting energy (relativistic)

입자가 Relativistic해질 수록 입자가 cyclotron하는 길이는 늘어나므로 주파수는 적어진다. 주파수가 점점 줄어들어 EMIC 대역 (near Proton cyclotron frequency) 까지 줄어들면 EMIC Wave의 Frequency도 Resonance를 일으키는데 상당히 중요해 지지만 보통은 그 정도 까지 가속된 입자는 많지 않으므로 EMIC를 다룰땐 파동의 Frequency는 무시해도 된다.

 장반경이 a 단반경이 b인 타원의 방정식이 완성 되었다.

  입자와 wave의 resonance condition은 자기장과 평행한 입자의 속도에만 관련이 있으므로, resonance condition을 생각했을때 특정한 파수와 주파수를 가진 wave에 대해서 Resonance를 일으 킬 수 있는 평행한 속도성분은 정해져 있으므로, 입자의 속도가 자기장과 평행한 성분과 수직한 성분이 동시에 있는것 보다, 자기장과 평행한 성분만 있을때 Resonance를 일으킬 수 있는 입자의 에너지가 가장 적다.

 특정한 파수와 주파수를 가진 wave에 대해서 최소한 어느정도의 에너지를 가지고 있어야 Resonance를 일으 킬수 있는지를 계산하기 위해서 자기장의 수직한 속도성분을 0 으로 하고 정리를 한다.

특정한 파수와 주파수를 가진 Wave와 resonance를 일으키려면 최소한 이정도의 평행한 속도 성분을 가져야 함이 나왔다. 이것을 에너지 관계식에 넣으면 Minimum resonance energy가 계산된다. 

Gradient B 환경에서 Single particle의 운동을 보기 위해 운동방정식을 세운다.

이제 Gradient B 하에서 각속도를 보겠습니다.

이제 Cyclotron 운동하는 속도를 uniform자기장 하에서 운동하려는 속도 성분과 non-uniform 하에서 drift하는 속도 성분을 나눠서 생각해보겠다.

여기에서 zeroth-order term은 uniform B하에서의 Cyclotron 운동이다.

Second-order term은 매우 작다.

우리는 first-term의 작용만 보기 위해 first-order term만 살려두기로 한다.

이제 이것을 적분해주면 drift 속도가 나온다.

한 주기동안 drift속도를 보기위해 양변을 주기 T로 나눠준다.

이제 Gyro-motion에서 식을 가져온다.

Gradient -B에서의 Drift 속도를 구해봤습니다.

에서 가 0 이라면 도 당연히 0이 된다. 즉 외력이 작용하지 않으면 운동량은 항상 보존된다. 운동량이 보존된다는 사실로 많은 계산이 쉽게 이루어 질 수 있다.  이렇게 물리학자들은 무언가 보존되는량을 열심히 찾으려한다. 그러면 외력이 작용한다면 그 계에서도 보존되는량을 찾을 수 있지 않을까?

우주에서는 변화하는 자기장에 따라 많은 현상들이 생겨나므로 자기장이 바뀌었을때 어떤 물리량이 보존되는지 살펴 볼것이다.

(출처 : http://physics.stackexchange.com/questions/72166/what-is-canonical-momentum)

간단하게 하전입자가 하나 있다고 했을때 보존되는 물리량을 살펴 볼것이다. 전선에 전류가 흐르지 않는다면 하전입자는 가만히 있을것이다. 하지만 갑자기 전류를 흘려보내준다면

에 의해서 자기장의 변화에 따라 전기장이 생김으로써 입자는 v의 속도를 가지고 움직이게 된다.

 변하는 자기장하에서 보존되는 물리량을 찾았다. 이것을 Canonical momentum이라고 한다. 이제 이런 운동량이 보존됨으로써 어떤 물리량이 보존되는지를 보기 위해 Action integral 을 도입하여 보겠다.

이런 적분은 주기적인 운동일때 정의 가능합니다. 그리고 주기성의 변화가 적으면 Action integral 은 보존된다.

주기 운동을 하는 Cyclotron motion 을 예로 들겠다.

이렇게 해서 magnetic moment의 양은 보존됨을 알수 있다.