Electric field를 표현하는 방법에는 2가지 방법이 있습니다. 먼저, 잘알려진 전기장 구하는 식을 통해 전기장을 표현하는 방법과 전위를 계산해 Gradient를 구하는 방법 두가지 방법이 있습니다.

(Coulomb's law in vector form)

 1. 전기장을 직접 계산한다.

 프로그램을 짤땐 x성분 y성분 z성분 분리해서 계산합니다.

2. 전위를 계산해서 Gradient를 구한다.

 matlab안에는 자체의 gradient를 구하는 함수가 있기 때문에 쉽게 전기장을 구할 수 있습니다.

저는 1번방법을 사용해 전기장뿐만 아니라 전위까지 계산해보겠습니다.

가장 먼저 x-y plane 상에 전하를 배치 시킵니다. 먼저 전하를 array에 배치시키고 그 전하의 위치를 정의 해주기 위해  다음과 같이 x array와 y array를 만들었습니다. 그리고 +전하를 빨간색 -전하를 파란색으로 표현했습니다.

q(1)=10; q(2)=-10; q(3)=10; q(4)=-10; q(5)=10;
x(1)=1; x(2)=-1; x(3)=0; x(4)=0; x(5)=0;
y(1)=0; y(2)=0; y(3)=1; y(4)=-1; y(5)=0;

k=1; 
N=length(q);
for n=1:N
if q(n)>=0
    hold on
    plot(x(n),y(n),'og','Color','red')
else
    hold on
   plot(x(n),y(n),'og','Color','blue') 
end
end

(전하의 배치)

그 다음 전기장을 그리기 위해 전 단계로 meshgrid라는 함수를 사용합니다. meshgrid란 위치벡터를 정의하는 함수 입니다.

[xpos, ypos]=meshgrid(-4:1:4,-4:1:4)

이러한 함수를 적으면 1 간격으로 x범위 -3~3, y범위 -3~3 까지의 격자로 위치 백터를 정의 할 수 있습니다. x의 범위는 xpos에 담기게 되고 y의 범위는 ypos에 담기게 됩니다. xpos와 ypos의 이름은 마음대로 정할 수 있습니다.

(meshgrid의 표현)

이렇게 격자를 만들 수 있습니다. 위에서는 설명하기 편하게 1간격으로 격자를 그렸지만 더 세밀한 각격으로 표현하기 위해서 간격을 좁혀주셔도 됩니다. 나중에 보면 벡터 표현에 상당히 편한 함수인것을 알 수 있습니다.

이제 저는 2차원 평면에서 전기장을 표현하기 위해 전기장을 x성분과 y성분으로 분리 하겠습니다.

여기에서 alpha는 전하의 번호 입니다. 우리는 전하를 5개 놓았습니다.

xmin=-3;
xmax=3;
ymin=-3;
ymax=3;
[xPos yPos]=meshgrid(xmin:0.2:xmax,ymin:0.2:ymax);


scale=10;
ex=0; ey=0;
Ex=0; Ey=0;
v=0; v2=0;

for n=1:N;
    r=sqrt((x(n)-xPos).^2+(y(n)-yPos).^2);
    ex=-k*(q(n)./r.^2).*((x(n)-xPos)./r);
    Ex=Ex+ex;
    ey=-k*(q(n)./r.^2).*((y(n)-yPos)./r);
    Ey=Ey+ey;
    
    
    v=v-ex.*(r.*((x(n)-xPos)./r));
    v=v-ey.*(r.*((y(n)-yPos)./r));
end
image=figure(1);
hold on
contour(xPos,yPos,v);
hold on
ima=quiver(xPos,yPos,Ex*scale,Ey*scale,'Color','bLACK');

이렇게 하면 static electric field를 계산할 수 있습니다. 저는 덤으로 전위까지 계산했습니다.

(Static Electric Field)

전기장 벡터들이 로 정의 되어 조화 진동해야 하기 때문에 위 벡터는 아이젠 벨류로 정의 되어야 합니다.

Difine Eigen value :

보라색 부분이 단위 행렬로 정의가 되어야 합니다. 특별히 WNA가 0인경우를 보겠습니다.

 for pararell to background magnetic field

Matlab으로 계산했습니다.

>> syms n ep1 ep2 ep3
>> th_tem=0 %WNA 은 0
 

dispertion_metrix=[n-ep1 i*ep2 0; -i*ep2 n*cos(sym(th_tem))^2-ep1 -n*cos(sym(th_tem))*sin(sym(th_tem)); 0 -n*cos(sym(th_tem))*sin(sym(th_tem)) n*sin(sym(th_tem))^2-ep3]

% n^2 은 n으로 표현
 
dispertion_metrix =
 
[ n - ep1,  ep2*1i,    0]
[ -ep2*1i, n - ep1,    0]
[       0,       0, -ep3]

>> [a b]=eig(dispertion_metrix)
 
a =
 
[ 0, -1i, 1i]
[ 0,   1,  1]
[ 1,   0,  0]
 
 
b =
 
[ -ep3,             0,             0]
[    0, n - ep2 - ep1,             0]
[    0,             0, ep2 - ep1 + n]

 Eigen Value는 아래처럼 3가지가 나왔습니다.

Eigen Value값으로 전기장은 이처럼 3가지 형태로 나올 수 있음을 알아 봤습니다.

앞서 설명 했듯이, 첫 번째 값은 일반 Linear 전기장이고 두 번째 값은 Right hand circular polarizaion 을 뜻하고 세 번째 값은 Left hand circular polarization을 뜻합니다.

익숙한 이 행렬을 determinent 하면 아래와 같은 General한 식이 나옵니다.

이것을 근의 공식을 이용해 w에 대한 n^2의 식으로 나타내면 그래프를 그릴 수 있습니다.

  이 그래프를 보시면 위의 그래프가 굴절률 제곱의 그래프이고 아래 그래프는 그의 역수 입니다. 주파수가 매우 작은 영역은 MHD(Magnetohydro dynamic)의 영역이 됩니다. 그래프의 스케일이 커서 작은영역은 잘 보이지 않고, 그 다음 보이는 것이 Whistler mode wave입니다. 이 Wave의 특성은 주파수가 커질수록 빨라지는 특성이 있습니다. 그래서 주파수가 빠른 Wave가 먼저 도착하고 작은 Wave는 늦게 도착해서 그 소리가 마치 휘파람 소리와 비슷하다고 해서 Whistler Wave가 되었습니다. 그 다음 Electron Cyclotron Frequency에서 Wave의 굴절률이 급격하게 상승하는 지역이 있습니다. 이 구간이 Resonence를 일으키는 구간입니다. R-mode Wave는 전자와 상호작용해서 Resonence를 일으킵니다. 쉽게 이야기 하지만 서로 도는 방향이 같기 때문입니다. 그 다음 Cut-off frequency가 보입니다. Cut-off frequncy는 파가 진행하지 못하는 주파수 대역입니다.

위 그림은 n^2 vs w 그래프에서 조금 더 방정식을 풀어 w vs k의 그래프로 나타냈습니다. 이 그래프에서는 조금더 Cut-off frequncy의 특성을 잘 볼수 있습니다. 그리고 높은 주파수 영역에서는 기울기가 빛과 비슷해지면서 Plasma Wave에서 빛의 영역으로 가는것을 볼 수 있습니다.

Cut-off frequency란 Wave에서 주파수가 끊기는 주파수를 말합니다. plasma wave에서는 주파수가 커지면 굴절률이 0이 되는 주파수도 있고, 위 그래프에 보이는것과 같이 굴절률이 급격히 상승하는 주파수도 있습니다.그 중 굴절률이 0이 되는 주파수를 Cut-off frequency라고 합니다. 그리고 굴절률이 급격히 상승하는 주파수는 Resonence frequency라고 합니다.

Cut-off Frequency에서는 위상속도가 무한대가 되고 파수가 0이 됩니다. Wave가 일반적으로 반사됩니다.

굴절률이 무한대가 되는 주파수에서는 2가지 경우가 있습니다.

(1) Wave가 입자에 에너지를 부여하고 사라진다.

(2) 입자의 에너지가 Wave에 전달되어 Wave의 Resonance가 일어난다.

2번째의 경우가 조금 더 많긴 하지만 상황에 따라 다릅니다. 추후 포스팅에서 다루겠습니다.