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에서 가 0 이라면 도 당연히 0이 된다. 즉 외력이 작용하지 않으면 운동량은 항상 보존된다. 운동량이 보존된다는 사실로 많은 계산이 쉽게 이루어 질 수 있다.  이렇게 물리학자들은 무언가 보존되는량을 열심히 찾으려한다. 그러면 외력이 작용한다면 그 계에서도 보존되는량을 찾을 수 있지 않을까?

우주에서는 변화하는 자기장에 따라 많은 현상들이 생겨나므로 자기장이 바뀌었을때 어떤 물리량이 보존되는지 살펴 볼것이다.

(출처 : http://physics.stackexchange.com/questions/72166/what-is-canonical-momentum)

간단하게 하전입자가 하나 있다고 했을때 보존되는 물리량을 살펴 볼것이다. 전선에 전류가 흐르지 않는다면 하전입자는 가만히 있을것이다. 하지만 갑자기 전류를 흘려보내준다면

에 의해서 자기장의 변화에 따라 전기장이 생김으로써 입자는 v의 속도를 가지고 움직이게 된다.

 변하는 자기장하에서 보존되는 물리량을 찾았다. 이것을 Canonical momentum이라고 한다. 이제 이런 운동량이 보존됨으로써 어떤 물리량이 보존되는지를 보기 위해 Action integral 을 도입하여 보겠다.

이런 적분은 주기적인 운동일때 정의 가능합니다. 그리고 주기성의 변화가 적으면 Action integral 은 보존된다.

주기 운동을 하는 Cyclotron motion 을 예로 들겠다.

이렇게 해서 magnetic moment의 양은 보존됨을 알수 있다.

Electric field를 표현하는 방법에는 2가지 방법이 있습니다. 먼저, 잘알려진 전기장 구하는 식을 통해 전기장을 표현하는 방법과 전위를 계산해 Gradient를 구하는 방법 두가지 방법이 있습니다.

(Coulomb's law in vector form)

 1. 전기장을 직접 계산한다.

 프로그램을 짤땐 x성분 y성분 z성분 분리해서 계산합니다.

2. 전위를 계산해서 Gradient를 구한다.

 matlab안에는 자체의 gradient를 구하는 함수가 있기 때문에 쉽게 전기장을 구할 수 있습니다.

저는 1번방법을 사용해 전기장뿐만 아니라 전위까지 계산해보겠습니다.

가장 먼저 x-y plane 상에 전하를 배치 시킵니다. 먼저 전하를 array에 배치시키고 그 전하의 위치를 정의 해주기 위해  다음과 같이 x array와 y array를 만들었습니다. 그리고 +전하를 빨간색 -전하를 파란색으로 표현했습니다.

(전하의 배치)

그 다음 전기장을 그리기 위해 전 단계로 meshgrid라는 함수를 사용합니다. meshgrid란 위치벡터를 정의하는 함수 입니다.

[xpos, ypos]=meshgrid(-4:1:4,-4:1:4)

이러한 함수를 적으면 1 간격으로 x범위 -3~3, y범위 -3~3 까지의 격자로 위치 백터를 정의 할 수 있습니다. x의 범위는 xpos에 담기게 되고 y의 범위는 ypos에 담기게 됩니다. xpos와 ypos의 이름은 마음대로 정할 수 있습니다.

(meshgrid의 표현)

이렇게 격자를 만들 수 있습니다. 위에서는 설명하기 편하게 1간격으로 격자를 그렸지만 더 세밀한 각격으로 표현하기 위해서 간격을 좁혀주셔도 됩니다. 나중에 보면 벡터 표현에 상당히 편한 함수인것을 알 수 있습니다.

이제 저는 2차원 평면에서 전기장을 표현하기 위해 전기장을 x성분과 y성분으로 분리 하겠습니다.

여기에서 alpha는 전하의 번호 입니다. 우리는 전하를 5개 놓았습니다.

이렇게 하면 static electric field를 계산할 수 있습니다. 저는 덤으로 전위까지 계산했습니다.

(Static Electric Field)

전기장 벡터들이 로 정의 되어 조화 진동해야 하기 때문에 위 벡터는 아이젠 벨류로 정의 되어야 합니다.

Difine Eigen value :

보라색 부분이 단위 행렬로 정의가 되어야 합니다. 특별히 WNA가 0인경우를 보겠습니다.

 for pararell to background magnetic field

Matlab으로 계산했습니다.

 Eigen Value는 아래처럼 3가지가 나왔습니다.

Eigen Value값으로 전기장은 이처럼 3가지 형태로 나올 수 있음을 알아 봤습니다.

앞서 설명 했듯이, 첫 번째 값은 일반 Linear 전기장이고 두 번째 값은 Right hand circular polarizaion 을 뜻하고 세 번째 값은 Left hand circular polarization을 뜻합니다.

익숙한 이 행렬을 determinent 하면 아래와 같은 General한 식이 나옵니다.

이것을 근의 공식을 이용해 w에 대한 n^2의 식으로 나타내면 그래프를 그릴 수 있습니다.

  이 그래프를 보시면 위의 그래프가 굴절률 제곱의 그래프이고 아래 그래프는 그의 역수 입니다. 주파수가 매우 작은 영역은 MHD(Magnetohydro dynamic)의 영역이 됩니다. 그래프의 스케일이 커서 작은영역은 잘 보이지 않고, 그 다음 보이는 것이 Whistler mode wave입니다. 이 Wave의 특성은 주파수가 커질수록 빨라지는 특성이 있습니다. 그래서 주파수가 빠른 Wave가 먼저 도착하고 작은 Wave는 늦게 도착해서 그 소리가 마치 휘파람 소리와 비슷하다고 해서 Whistler Wave가 되었습니다. 그 다음 Electron Cyclotron Frequency에서 Wave의 굴절률이 급격하게 상승하는 지역이 있습니다. 이 구간이 Resonence를 일으키는 구간입니다. R-mode Wave는 전자와 상호작용해서 Resonence를 일으킵니다. 쉽게 이야기 하지만 서로 도는 방향이 같기 때문입니다. 그 다음 Cut-off frequency가 보입니다. Cut-off frequncy는 파가 진행하지 못하는 주파수 대역입니다.

위 그림은 n^2 vs w 그래프에서 조금 더 방정식을 풀어 w vs k의 그래프로 나타냈습니다. 이 그래프에서는 조금더 Cut-off frequncy의 특성을 잘 볼수 있습니다. 그리고 높은 주파수 영역에서는 기울기가 빛과 비슷해지면서 Plasma Wave에서 빛의 영역으로 가는것을 볼 수 있습니다.

Cut-off frequency란 Wave에서 주파수가 끊기는 주파수를 말합니다. plasma wave에서는 주파수가 커지면 굴절률이 0이 되는 주파수도 있고, 위 그래프에 보이는것과 같이 굴절률이 급격히 상승하는 주파수도 있습니다.그 중 굴절률이 0이 되는 주파수를 Cut-off frequency라고 합니다. 그리고 굴절률이 급격히 상승하는 주파수는 Resonence frequency라고 합니다.

Cut-off Frequency에서는 위상속도가 무한대가 되고 파수가 0이 됩니다. Wave가 일반적으로 반사됩니다.

굴절률이 무한대가 되는 주파수에서는 2가지 경우가 있습니다.

(1) Wave가 입자에 에너지를 부여하고 사라진다.

(2) 입자의 에너지가 Wave에 전달되어 Wave의 Resonance가 일어난다.

2번째의 경우가 조금 더 많긴 하지만 상황에 따라 다릅니다. 추후 포스팅에서 다루겠습니다.

 우리는 자기장과 평행한 Two Fluid Plasma Wave의 Polarization에 대해서 다음과 같이 정의 했습니다.

n 굴절률에 따라 편광되는 방향이 달라집니다.

 일 경우  로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -i만큼 차이 나게 됩니다.

이것은 무슨의미 일까요? 먼저, 오일러 공식을 살펴보면

실수부와 허수부의 위상차이가 딱 90도가 나게 됩니다. 여기에 복소수를 곱하면 어떻게 될까요?

실수부가 cos이 sin으로 바꼇습니다. 위상이 90도 앞으로 가게 됬습니다. 그래서 위상이 i만큼 차이난다는것은 90도만큼 차이가 있다는것입니다.

다시 앞으로 가서,

일경우 이란 식이 나옵니다. 이것을 우리가 볼 수 있는 실수부만 보이게 하겠습니다.

(z=0 에서 봤을때 시간에 따른 R-mode polarization 전기장의 방향)

전기장이 반시계 모양으로 회전 합니다.

(Right-hand Polarization Wave)

일 경우

로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -만큼 차이 나게 됩니다.

(z=0 에서 봤을때 시간에 따른 L-mode polarization 전기장의 방향)

(Left-hand Polarization Wave)

 앞선 포스팅에서 Two Fluid Plasma Wave의 Dispersion Relation을 구해 봤는데요 이제 그의 물리적 의미를 살펴보도록 하겠습니다.

먼저 앞서 유도한 Dispersion Relation의 행렬식을 가져와 보겠습니다.

여기에서 이제 인 경우 즉, 파동의 방향이 자기장과 평행인 경우를 살펴보겠습니다. 파동의 방향이 자기장과 평행인 경우는 인 경우 입니다.

으로 정리가 됩니다. 이를 연립해서 정리하면.

으로 정리 할 수 있습니다. 이를 풀어보면

이렇게 파동의 굴절률(Index of reflection)을 정리할 수 있습니다. 이게 어떤 파동일까요? 특성을 알아 봅시다.

 맥스웰 방정식의 사용하지 않은 2개의 방정식으로 부터 전자기파의 특성을 볼 수 있습니다.

그리고

전기장의 z성분은 없으므로

전기장을 x성분과 y성분 그리고 파동으로 정의 할 수 있습니다.

 일 경우

 로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -i만큼 차이 나게 됩니다.

(Right-hand Polarization Wave)

일 경우

로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -만큼 차이 나게 됩니다.

(Left-hand Polarization Wave)

  일반적으로 직관으로 생각하면 위상이 i만큼 차이 난다는것은 90도 만큼 차이나는 것을 뜻합니다.

 이것을 잘보면 Right-hand Polarization Wave는 전자의 gyro motion 방향과 일치하고 Left-hand Polarization Wave 이온의 gyro motion 방향과 일치 합니다. 나중에 보면 이 회전하는 전기장이 전자나 이온과 공명(Resonence)를 일으켜 에너지를 전달하게 됩니다.

그럼 이제 만약 굴절률이 -(Negative)가 되면 어떻게 될까요?

파수(Wave Number)가 Complex Number로 나왔습니다.

지수 부분이 공간적으로 decaying되는 solution이 나왔습니다.

(damping 되는 파동)

어짜피 없어지는 파동이기 때문에 굴절률이 -인 파동은 다루지 않습니다.
 

  안녕하세요. Two Fluid Plasma 에 대해서 계속 이어 포스팅 하겠습니다.

  저번 시간에서 마지막에 4개의 방정식을 소개해드렸습니다.

위의 Notation으로 표기 하였습니다.

(연속방정식)

(Momentum Equation)

(맥스웰 방정식)

  이처럼 4개의 방정식이 있는데요, 첫 번째는 연속방정식으로 플라즈마를 유체로 보겠다는 의미가 담겨 있습니다. 시간에 따른 개수밀도의 변화는 발산하는 플럭스의 양과 같다는 의미입니다.

여기엔 flux의 의미가 담겨 있습니다.

  두 번째는 모멘텀 방정식입니다.

  이제 조금 이해가 되시는지 모르겠습니다. 기존 힘 F=ma의 식에 밀도를 곱한 식인데요, 이렇게 곱하면 Volume force의 의미를 가지게 됩니다. 유체가 미는 힘을 기술하기 위함입니다. 그리고 미분이 이렇게 바뀌는 것은 convection derivation 변환 입니다.

  그리고 오른쪽 식의 첫 번째 항은 Lorentz force의 의미를 가지고 2번째 항은 Pressure force 3번째 항은 마찰의 의미 입니다.

  실제로 Two Fluid 에서는 첫 번째 항까지만 써서 유도를 하도록 하겠습니다. 첫 번째 항만 써도 필요한 현상이 설명됩니다.

  Maxwell eq 는 참고서적을 참고 하시길 바랍니다.

  위의 식을 푸려면 먼저 선형화의 작업을 거쳐야 합니다.

  물리량에 이 만큼의 섭동(Perturvation)을 준다고 생각하면 파동이 생기겠죠? 플라즈마에 어떤 요인에 의해 섭동이 발생 했을때, 예를 들면 플라즈마에 전자기파가 지나간다 던지 하면 생기는 섭동들이 생겼을때 플라즈마 안에서는 이 파동들이 어떤식으로 진행하는지 어떻게 변화하는지 그것을 보고 싶어 계산을 하는 것 입니다.

  물리량에 이 이만큼의 섭동을 주겠습니다.

이러면 계산하기가 훨씬 수월해 집니다.

  이렇게 변환이 가능합니다.  이를 적용하고 Second order term을 제거하면,

  훨씬 납득이 쉬워지는 식으로 변했습니다.

이를 연립해서 정리하면,

  섭동자기장의 회전은 Dielectric contant 와 섭동 전기장의 곱으로 정리가 됩니다.

  이제 파의 진행방향을 조건으로 걸어 둡니다.

  파의 진행방향인 k벡터가 yz평면 있다고 가정합시다. (계산이 쉽게 되도록)

항등식이 만들어졌습니다.

이 행렬식에서 non-trivial solution을 구해서 첫번째 항을 determinent 해서 0을 나오게 만들면

  Two Fluid Wave Dispersion Relation 의 full expresion 이 만들어 졌습니다.

  이 방정식을 이용하면 파동의 Wave Normal Angle() 에 따라서 파동의 dispersion을 알 수 있는 그래프를 만들 수 있습니다.

(Whistler mode wave)

  위의 그림은 R-mode wave의 대표적인 Whistler mode wave입니다. 잘보면 입자들이 반시계 모양으로 회전 하는것을 볼 수 있습니다. 위의 방정식을 잘 풀다 보면 이러한 웨이브를 해석 할 수 있습니다.

다음 포스팅에선 WNA가 0도 일때 물리적 의미를 살펴 보겠습니다.

  TeX라는 프로그램은 논문쓰기에 적합한 프로그램이라고 합니다. 아무래도 수식을 많이 쓰는 이공계학생들은 조금 더 수월하게 논문을 쓰기 위한 프로그램이라고 생각할 수 있습니다. 우리가 흔히 쓰는 MS Word나 한글과 차이점은 TeX는 공개 소프트웨어이고 친절하지 않다는 점입니다. 각종 명령어를 알아야 TeX를 사용할 수 있습니다. 하지만 이런 고뇌의 시간이 지나가면 한글보다 월등한 수준의 문서 품질을 얻을 수 있다고 합니다. 저도 아직 TeX를 이용해서 논문을 써본 것이 아니라 아직 잘 모르겠습니다.

(TeX works의 인터페이스)

오른쪽창이 명령어를 쓰는 인터페이스고 왼쪽화면이 그 결과물을 PDF로 나타낸것입니다.

그럼 이제 TeX를 설치 해보도록 하겠습니다. 많은 사람들의 노력으로 TeX를 조금 더 쉽게 설치 할 수 있겠금 해줬다고 했는데 초보인 저로써는 꽤나 애를 먹엇습니다.

TeX를 사용하기 위해서는 위에 보이는 TeXworks라는 에디터를 설치하여야하고, 그전에 TeX를 컴파일 해 줄 프로그램을 설치해야 합니다.

설치 방법은 한글 TeX 사용자 그룹 (http://wiki.ktug.org/ )으로 가면 설명이 되어 있으나 여기서 한번 더 설명하자면 처음에는

http://ftp.ktug.org/tex-archive/systems/texlive/tlnet/install-tl.zip

TeXLive라는 컴파일러같은 것을 설치 해야 합니다.

(TeXLive 의 설치 화면)

여기서 주의 할 점은 Directory Setup 부분의 TEXDIR가 c:\texlive\2015로 되어 있는 것을 c:\usr\texlive\2015로 고쳐야 합니다.

그다음 Install TeXLive를 누르고 기다립니다. 네트워크를 이용해 설치하는 것이기 때문에 꼭 인터넷이 연결되어 있어야 하고, 조금 느릴 수 있습니다.

설치가 완료 되면 윈도우 검색창에 Tex Live command-line를 열어 다음 명령을 차례로 입력합니다.

> tlmgr repository add http://ftp.ktug.org/KTUG/texlive/tlnet ktug
> tlmgr pinning add ktug *
> tlmgr install ktugbin
> tlmgr install texworks-config
> tlmgr install nanumttf hcr-lvt

여기 까지 하면 한글 TeX환경인 ko.TeX Live 까지 설치 되었습니다.

이제 컴파일러를 설치 했으니 에디터를 설치해야 하는데요.

https://drive.google.com/folderview?id=0B5iVT8Q7W44pNDlQVm9uRGpEWHc&tid=0B5iVT8Q7W44pMkNLblFjUzdQUVE
(TeXworks)

요즘 대세인 TeXworks라는 에디터 입니다. 여기까지 설치 되었으면 이제 TeX를 쓸 준비가 되었습니다.

이제 TeXworks를 켜고 다음 셈플을 열어 봅니다.

 sample.tex

파일을 열면 다음과 같은 화면이 나오는데 상단에 초록색 플레이 버튼을 누르면 컴파일 되서 pdf 파일로 결과물을 확인 할 수 있습니다.

(TeXworks 인터페이스 및 코딩)

여기서 주의 해야할점은 꼭 한글까지 pdf에 나와야 한다는 것 입니다.

 여기까지 TeX의 설치기 였습니다.

안녕하세요. 군속도와 위상속도는 어떤 점이 다를까요?

군 속도의 대상이 되는 Wave Packet 과 위상속도의 대상이 되는 일반 Wave의 차이점은 정보를 전달 할 수 있느냐 없느냐에 있습니다. 파 다발이라 부르는 Wave Packet은 여러개의 파를 합치면(Superpose) 만들 수 있습니다.

 (3개의 파을 합성한 Wave Packet)

위의 영상을 보시면 3개의 파의 속도가 다 다르고 파장도 다름을 볼 수 있습니다. 파장이 다르기 때문에 합치면 파의 보강이 일어나는곳도 있고 간섭이 일어나는곳도 있습니다. 그리고 3개의 파가 속도가 다르기 때문에 합처진 파를 잘보면 크게 아우는 파와 그 속의 파의 속도가 다른것을 눈으로 확인 할 수 있습니다.

(파의 군 속도와 위상속도)

더 자세히 보면 빨간점이 가는 이동하는 속도가 위상속도 (Phase Velocity)이고 초록점이 이동하는것이 군 속도(Group Velocity)입니다. 왜 이런 변형을 하는 것일까요?

바로 파 하나로는 정보를 전달 하는것이 불가능 하기 때문입니다. 파 하나로는 파의 굴곡을 만드는게 불가능합니다. 그 굴곡을 통해 정보를 전달 할 수 있기 때문에 Wave Packet의 개념이 탄생했습니다. 전자기파가 그런 대표적인 예입니다. 빛의 속도는 30만 km/s 이지만 단색파(monochromatic wave)는 그 속도를 넘을 수 있습니다. 하지만 단색파가 모인 Wave Packet은 절대 30만km/s라는 상수를 넘을 수 없습니다. 실제로 제한 적이긴 하지만 단색 레이져 Pulse가 빛의 속도를 넘은 경우도 있습니다. 우리가 실생활에서 접하는 빛은 모두 이런 WavePacket으로 되어있습니다.

이제 증명을 통해 군 속도는 빛의 속도를 넘을 수 없음을 증명해 봅시다.

파수와 진동수가 다른 두개의 파를 합쳐 보도록 하겠습니다.

위 식에서는

위 결과를 이용해,

이런 결과를 이용하였고,

그리고

평균과 델타를 이렇게 정의 하였습니다.

이 결과

에서 A부분은 Wave Packet의 특성을 나타내고 cos부분은 위상속도의 특성을 나타내는 부분입니다. 시간이 지나도 위상은 변하지 않기 때문에

위상속도는 이렇게 간단히 정의 됩니다. 2개의 파의 속도는 두 개의 파수와 주파수의 평균으로 정의 되는 것을 볼 수 있습니다.

만약 두개의 주파수와 파수가 서로 아주 가깝다면

으로 정의 할 수 있습니다.

이제, 2개의 전자기파가 진공속에서 traveling 한다고 가정하고 빛의 속도가 c라고 하면,

단일파에서는 속도가 c가 나옵니다.

이제 Wavepacket의 속도를 보면,

아니 단일파와 Wavepacket의 속도가 같게 되었습니다. 왜일까요?

진공속에서의 전자기파는 단일파들의 속도들이 같기 때문에 dispersion이 생기지 않습니다.

(non-dispersion wave)

(dispersion wave)

단일파들의 속도가 다르다면 파동에 dispersion이 생겨 위상속도가 군속도보다 빠를 수 있게 됩니다(영상속에선 군속도가 빠름). 빛이 진공에서 빛의 속도로 진행하다 프리즘을 만나 빛이 퍼지는 이유도 물질안에서는 파장에 따라 빛의 속도가 달라지기 때문에 색(파장)에 따라 굴절률이 다르게 되기 때문 입니다.

(프리즘으로 인한 굴절)

이제 파장에 따라 달라 지는 굴절률(Index of reflection)을 적용해봅시다.

주파수가 어떤 임의의 W0로 다가가면 굴절률이 무한대가 됩니다. 즉 파수가 무한대이고 속도는 0으로 수렴하게 됩니다.

굴절률과 파장의 관계는 위의 식과 같습니다.

위의 예상대로 파장이 W0에 다가가면 갈수록 속도가 0으로 수렴하게 됩니다.

그리고 군속도는 절대 빛의 속도를 넘을 수 없게 됩니다.

(빛의 dispersion relation)

위의 그래프는 빛이 진공에서 물질속으로 들어가면 파수에 따라 속도가 달라지는것을 볼 수 있습니다. 그래프에서 기울기가 군속도라고 볼 수 있겠지요?

그래프를 잘 보면 파수가 높아짐에 따라 기울기가 0으로 수렴합니다. 바로 군속도가 0이 되는것이지요, 위의 식과 일치 합니다.

만약 굴절률이 -(Negative)일경우 어떻게 될까요? 이는 다음 포스팅에서 다뤄 보도록 하겠습니다.

 matlab으로 고차방정식을 쉽게 풀 수 있다.

먼저 matlab으로 고차방정식을 푸려면 방정식의 변수지정을 해야하는데 syms라는 함수가 변수 지정하는 함수이다.

나는 W_c를 변수로 지정했다.

syms W_c

W_c^3+(Wci-Wce)*W_c^2-(Wpi^2+Wpe^2+Wci*Wce)*W_c+Wpi^2*Wce-Wpe^2*Wci=0

이라는 3차 방정식을 푸려고 한다.

Wpi,Wpe,Wce,Wci 모두 상수이다.

방정식을 풀땐 solve라는 함수를 이용한다.

ans로 식이 길게 나열된것이 방정식의 해이다. 참 신통방통!