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ring-core fluxgate의 noise

1. Barkhausen noise

외부 자기장이 비교적 강해지면 자구(magnetic domains)들이 불연속적으로 크기가 바뀌거나 방향이 바뀔수 있다. 이때 Hysteresis roop 에서 그래프가 불연속적으로 나타나면 Pick Up coil에 전류가 불연속적인 노이즈가 생길 수 있다. (Souten, 1970)

2. Thermal noise

열적 에너지가 강하면 전자스핀이 바뀔 수 있으므로 노이즈가 생길 수 있다.

3. Magnetostrictive noise (Weiner,1969)

외부 자기장에 의해 자기변형이 되면 자기장에 변동이 올 수 있다. 

Demagnetization field (반자장)

강자성체를 자화시키면 한쪽 표면엔 N극 다른쪽 끝 표면엔 S극으로 자화 되므로 자회된 물질 안에는 외부 자장()과 반대 방향으로 내부 자장()이 생긴다. 이것을 반자장(Demagnetizaion field) 라고 한다. 반자장은 자성체의 형태에 따라 변하게 된다. 양쪽 끝이 멀수록 그리고 그 사이 두께가 얇을수록 반자장 효과는 감소하게 된다.

전자가 자기장을 따라서 움직일때 전자가 느끼는 자기장의 파동은 전자의 속도에 따라 Frequency가 달라진다.

전자가 파동을 지나갈때 느끼는 주파수가 상대주파수 이다. 이 상대 주파수가 전자의 Gyro frequency와 정수배로 일치 하면 resonance가 일어난다.

Electron gyro frequency는 전하의 부호가 무엇이 되든 무조건 양수가 되게 절대값 으로 설정 했다.

N의 부호는 Frequency의 방향과 관련이 있다. 양의 Frequency란 반시계 방향으로 도는것이고 음의 Frequency란 시계 방향으로 도는것이다. R-mode wave는 반시계 방향으로 돌고, L-mode wave는 시계방향으로 돈다. 우리는 Electron gyro frequency가 무조건 양수 이므로 N이 + 값이면 오른쪽 항이 - 부호를 가지게 되므로 L-mode wave를 위한 Resonance condition 이라 할 수 있다.

우주에서  2MeV 이상의 에너지를 가진 입자는 그 개수가 많이 떨어지므로 우리는 그 이하의 에너지 대역에 관심을 가지도록 하자.

0.5MeV ~ 2MeV : Geophysically interesting energy (relativistic)

입자가 Relativistic해질 수록 입자가 cyclotron하는 길이는 늘어나므로 주파수는 적어진다. 주파수가 점점 줄어들어 EMIC 대역 (near Proton cyclotron frequency) 까지 줄어들면 EMIC Wave의 Frequency도 Resonance를 일으키는데 상당히 중요해 지지만 보통은 그 정도 까지 가속된 입자는 많지 않으므로 EMIC를 다룰땐 파동의 Frequency는 무시해도 된다.

 장반경이 a 단반경이 b인 타원의 방정식이 완성 되었다.

  입자와 wave의 resonance condition은 자기장과 평행한 입자의 속도에만 관련이 있으므로, resonance condition을 생각했을때 특정한 파수와 주파수를 가진 wave에 대해서 Resonance를 일으 킬 수 있는 평행한 속도성분은 정해져 있으므로, 입자의 속도가 자기장과 평행한 성분과 수직한 성분이 동시에 있는것 보다, 자기장과 평행한 성분만 있을때 Resonance를 일으킬 수 있는 입자의 에너지가 가장 적다.

 특정한 파수와 주파수를 가진 wave에 대해서 최소한 어느정도의 에너지를 가지고 있어야 Resonance를 일으 킬수 있는지를 계산하기 위해서 자기장의 수직한 속도성분을 0 으로 하고 정리를 한다.

특정한 파수와 주파수를 가진 Wave와 resonance를 일으키려면 최소한 이정도의 평행한 속도 성분을 가져야 함이 나왔다. 이것을 에너지 관계식에 넣으면 Minimum resonance energy가 계산된다. 

Gradient B 환경에서 Single particle의 운동을 보기 위해 운동방정식을 세운다.

이제 Gradient B 하에서 각속도를 보겠습니다.

이제 Cyclotron 운동하는 속도를 uniform자기장 하에서 운동하려는 속도 성분과 non-uniform 하에서 drift하는 속도 성분을 나눠서 생각해보겠다.

여기에서 zeroth-order term은 uniform B하에서의 Cyclotron 운동이다.

Second-order term은 매우 작다.

우리는 first-term의 작용만 보기 위해 first-order term만 살려두기로 한다.

이제 이것을 적분해주면 drift 속도가 나온다.

한 주기동안 drift속도를 보기위해 양변을 주기 T로 나눠준다.

이제 Gyro-motion에서 식을 가져온다.

Gradient -B에서의 Drift 속도를 구해봤습니다.

에서 가 0 이라면 도 당연히 0이 된다. 즉 외력이 작용하지 않으면 운동량은 항상 보존된다. 운동량이 보존된다는 사실로 많은 계산이 쉽게 이루어 질 수 있다.  이렇게 물리학자들은 무언가 보존되는량을 열심히 찾으려한다. 그러면 외력이 작용한다면 그 계에서도 보존되는량을 찾을 수 있지 않을까?

우주에서는 변화하는 자기장에 따라 많은 현상들이 생겨나므로 자기장이 바뀌었을때 어떤 물리량이 보존되는지 살펴 볼것이다.

(출처 : http://physics.stackexchange.com/questions/72166/what-is-canonical-momentum)

간단하게 하전입자가 하나 있다고 했을때 보존되는 물리량을 살펴 볼것이다. 전선에 전류가 흐르지 않는다면 하전입자는 가만히 있을것이다. 하지만 갑자기 전류를 흘려보내준다면

에 의해서 자기장의 변화에 따라 전기장이 생김으로써 입자는 v의 속도를 가지고 움직이게 된다.

 변하는 자기장하에서 보존되는 물리량을 찾았다. 이것을 Canonical momentum이라고 한다. 이제 이런 운동량이 보존됨으로써 어떤 물리량이 보존되는지를 보기 위해 Action integral 을 도입하여 보겠다.

이런 적분은 주기적인 운동일때 정의 가능합니다. 그리고 주기성의 변화가 적으면 Action integral 은 보존된다.

주기 운동을 하는 Cyclotron motion 을 예로 들겠다.

이렇게 해서 magnetic moment의 양은 보존됨을 알수 있다.

Electric field를 표현하는 방법에는 2가지 방법이 있습니다. 먼저, 잘알려진 전기장 구하는 식을 통해 전기장을 표현하는 방법과 전위를 계산해 Gradient를 구하는 방법 두가지 방법이 있습니다.

(Coulomb's law in vector form)

 1. 전기장을 직접 계산한다.

 프로그램을 짤땐 x성분 y성분 z성분 분리해서 계산합니다.

2. 전위를 계산해서 Gradient를 구한다.

 matlab안에는 자체의 gradient를 구하는 함수가 있기 때문에 쉽게 전기장을 구할 수 있습니다.

저는 1번방법을 사용해 전기장뿐만 아니라 전위까지 계산해보겠습니다.

가장 먼저 x-y plane 상에 전하를 배치 시킵니다. 먼저 전하를 array에 배치시키고 그 전하의 위치를 정의 해주기 위해  다음과 같이 x array와 y array를 만들었습니다. 그리고 +전하를 빨간색 -전하를 파란색으로 표현했습니다.

q(1)=10; q(2)=-10; q(3)=10; q(4)=-10; q(5)=10;
x(1)=1; x(2)=-1; x(3)=0; x(4)=0; x(5)=0;
y(1)=0; y(2)=0; y(3)=1; y(4)=-1; y(5)=0;

k=1; 
N=length(q);
for n=1:N
if q(n)>=0
    hold on
    plot(x(n),y(n),'og','Color','red')
else
    hold on
   plot(x(n),y(n),'og','Color','blue') 
end
end

(전하의 배치)

그 다음 전기장을 그리기 위해 전 단계로 meshgrid라는 함수를 사용합니다. meshgrid란 위치벡터를 정의하는 함수 입니다.

[xpos, ypos]=meshgrid(-4:1:4,-4:1:4)

이러한 함수를 적으면 1 간격으로 x범위 -3~3, y범위 -3~3 까지의 격자로 위치 백터를 정의 할 수 있습니다. x의 범위는 xpos에 담기게 되고 y의 범위는 ypos에 담기게 됩니다. xpos와 ypos의 이름은 마음대로 정할 수 있습니다.

(meshgrid의 표현)

이렇게 격자를 만들 수 있습니다. 위에서는 설명하기 편하게 1간격으로 격자를 그렸지만 더 세밀한 각격으로 표현하기 위해서 간격을 좁혀주셔도 됩니다. 나중에 보면 벡터 표현에 상당히 편한 함수인것을 알 수 있습니다.

이제 저는 2차원 평면에서 전기장을 표현하기 위해 전기장을 x성분과 y성분으로 분리 하겠습니다.

여기에서 alpha는 전하의 번호 입니다. 우리는 전하를 5개 놓았습니다.

xmin=-3;
xmax=3;
ymin=-3;
ymax=3;
[xPos yPos]=meshgrid(xmin:0.2:xmax,ymin:0.2:ymax);


scale=10;
ex=0; ey=0;
Ex=0; Ey=0;
v=0; v2=0;

for n=1:N;
    r=sqrt((x(n)-xPos).^2+(y(n)-yPos).^2);
    ex=-k*(q(n)./r.^2).*((x(n)-xPos)./r);
    Ex=Ex+ex;
    ey=-k*(q(n)./r.^2).*((y(n)-yPos)./r);
    Ey=Ey+ey;
    
    
    v=v-ex.*(r.*((x(n)-xPos)./r));
    v=v-ey.*(r.*((y(n)-yPos)./r));
end
image=figure(1);
hold on
contour(xPos,yPos,v);
hold on
ima=quiver(xPos,yPos,Ex*scale,Ey*scale,'Color','bLACK');

이렇게 하면 static electric field를 계산할 수 있습니다. 저는 덤으로 전위까지 계산했습니다.

(Static Electric Field)

전기장 벡터들이 로 정의 되어 조화 진동해야 하기 때문에 위 벡터는 아이젠 벨류로 정의 되어야 합니다.

Difine Eigen value :

보라색 부분이 단위 행렬로 정의가 되어야 합니다. 특별히 WNA가 0인경우를 보겠습니다.

 for pararell to background magnetic field

Matlab으로 계산했습니다.

>> syms n ep1 ep2 ep3
>> th_tem=0 %WNA 은 0
 

dispertion_metrix=[n-ep1 i*ep2 0; -i*ep2 n*cos(sym(th_tem))^2-ep1 -n*cos(sym(th_tem))*sin(sym(th_tem)); 0 -n*cos(sym(th_tem))*sin(sym(th_tem)) n*sin(sym(th_tem))^2-ep3]

% n^2 은 n으로 표현
 
dispertion_metrix =
 
[ n - ep1,  ep2*1i,    0]
[ -ep2*1i, n - ep1,    0]
[       0,       0, -ep3]

>> [a b]=eig(dispertion_metrix)
 
a =
 
[ 0, -1i, 1i]
[ 0,   1,  1]
[ 1,   0,  0]
 
 
b =
 
[ -ep3,             0,             0]
[    0, n - ep2 - ep1,             0]
[    0,             0, ep2 - ep1 + n]

 Eigen Value는 아래처럼 3가지가 나왔습니다.

Eigen Value값으로 전기장은 이처럼 3가지 형태로 나올 수 있음을 알아 봤습니다.

앞서 설명 했듯이, 첫 번째 값은 일반 Linear 전기장이고 두 번째 값은 Right hand circular polarizaion 을 뜻하고 세 번째 값은 Left hand circular polarization을 뜻합니다.

익숙한 이 행렬을 determinent 하면 아래와 같은 General한 식이 나옵니다.

이것을 근의 공식을 이용해 w에 대한 n^2의 식으로 나타내면 그래프를 그릴 수 있습니다.

  이 그래프를 보시면 위의 그래프가 굴절률 제곱의 그래프이고 아래 그래프는 그의 역수 입니다. 주파수가 매우 작은 영역은 MHD(Magnetohydro dynamic)의 영역이 됩니다. 그래프의 스케일이 커서 작은영역은 잘 보이지 않고, 그 다음 보이는 것이 Whistler mode wave입니다. 이 Wave의 특성은 주파수가 커질수록 빨라지는 특성이 있습니다. 그래서 주파수가 빠른 Wave가 먼저 도착하고 작은 Wave는 늦게 도착해서 그 소리가 마치 휘파람 소리와 비슷하다고 해서 Whistler Wave가 되었습니다. 그 다음 Electron Cyclotron Frequency에서 Wave의 굴절률이 급격하게 상승하는 지역이 있습니다. 이 구간이 Resonence를 일으키는 구간입니다. R-mode Wave는 전자와 상호작용해서 Resonence를 일으킵니다. 쉽게 이야기 하지만 서로 도는 방향이 같기 때문입니다. 그 다음 Cut-off frequency가 보입니다. Cut-off frequncy는 파가 진행하지 못하는 주파수 대역입니다.

위 그림은 n^2 vs w 그래프에서 조금 더 방정식을 풀어 w vs k의 그래프로 나타냈습니다. 이 그래프에서는 조금더 Cut-off frequncy의 특성을 잘 볼수 있습니다. 그리고 높은 주파수 영역에서는 기울기가 빛과 비슷해지면서 Plasma Wave에서 빛의 영역으로 가는것을 볼 수 있습니다.

Cut-off frequency란 Wave에서 주파수가 끊기는 주파수를 말합니다. plasma wave에서는 주파수가 커지면 굴절률이 0이 되는 주파수도 있고, 위 그래프에 보이는것과 같이 굴절률이 급격히 상승하는 주파수도 있습니다.그 중 굴절률이 0이 되는 주파수를 Cut-off frequency라고 합니다. 그리고 굴절률이 급격히 상승하는 주파수는 Resonence frequency라고 합니다.

Cut-off Frequency에서는 위상속도가 무한대가 되고 파수가 0이 됩니다. Wave가 일반적으로 반사됩니다.

굴절률이 무한대가 되는 주파수에서는 2가지 경우가 있습니다.

(1) Wave가 입자에 에너지를 부여하고 사라진다.

(2) 입자의 에너지가 Wave에 전달되어 Wave의 Resonance가 일어난다.

2번째의 경우가 조금 더 많긴 하지만 상황에 따라 다릅니다. 추후 포스팅에서 다루겠습니다.

 우리는 자기장과 평행한 Two Fluid Plasma Wave의 Polarization에 대해서 다음과 같이 정의 했습니다.

n 굴절률에 따라 편광되는 방향이 달라집니다.

 일 경우  로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -i만큼 차이 나게 됩니다.

이것은 무슨의미 일까요? 먼저, 오일러 공식을 살펴보면

실수부와 허수부의 위상차이가 딱 90도가 나게 됩니다. 여기에 복소수를 곱하면 어떻게 될까요?

실수부가 cos이 sin으로 바꼇습니다. 위상이 90도 앞으로 가게 됬습니다. 그래서 위상이 i만큼 차이난다는것은 90도만큼 차이가 있다는것입니다.

다시 앞으로 가서,

일경우 이란 식이 나옵니다. 이것을 우리가 볼 수 있는 실수부만 보이게 하겠습니다.

(z=0 에서 봤을때 시간에 따른 R-mode polarization 전기장의 방향)

전기장이 반시계 모양으로 회전 합니다.

(Right-hand Polarization Wave)

일 경우

로 x방향의 전기장과 y방향의 전기장의 위상이 -만큼 차이 나게 됩니다.

(z=0 에서 봤을때 시간에 따른 L-mode polarization 전기장의 방향)

(Left-hand Polarization Wave)

 앞선 Two Fluid Plasma Wave 에선 전자의 주파수 영역을 다뤘다면, EMIC (Electromagnetic Ion Cyclotron) Wave에서는 Ion들의 영역을 다룰것 입니다. Ion의 특징은 전자보다 상당히 무거워서 Cyclotron 운동하는 속도도 상당히 느리다는것입니다. 그만큼 반응하는 Wave의 주파수 영역도 상당히 낮아지게 됩니다. 그래서 이제 우리는 상당히 낮은 주파수 영역을 다룰것입니다. 이런 수 들을 조금 더 다루기 쉽게 하기위해 식을 dimensionless quantity로 바꾸도록 하겠습니다.

 우리는 위의 식을 EMIC(Electromagnetic Ion Cyclotron) Wave에 적합한 식이 되도록 적당한 근사를 만들것입니다. 우선 Ion cyclotron frequency에 대해 다루기 때문에 Electron cyclotron frequency보다는 매우 작은 영역의 범위를 다루게 됩니다. 이런 조건을 가지고 적당한 근사를 만들 수 있습니다.

는 1이거나 1보다는 작은수를 다루게 되고, 전자파동에 비해 전자의 질량에 비해서 양성자의 질량이 1000배 정도 크기 때문에  입니다. 또 

는 1보다는 작은 영역을 다룰 것입니다. 즉 밀도가 자기장보다 큰 지역을 다루게 됩니다. 이는 일반 플라즈마 실험실과는 다른 우주에서 적용되는 근사입니다.

이렇게 작은 term은 0으로 처리하고 식을 근사 합니다. 그러면

 이를 토대로 Dispersion Relation을 계산하면,

(WNA=0 일때 Dispersion Relation)

(WNA=25 일때 Dispersion Relation)

WNA이 0도 일때와 0도가 아닐때 Dispersion Relation의 모양은 비슷해 보이지만 다른점은 그래프가 중간에 끊기는 지점이 나타난다는 것입니다. 먼저 Cut-off frequency를 계산해보면,

He과 O의 비율이 0이라면 분자의 해와 분모의 해가 같게 되서 분수가 꼴이 되어 해가 있을 수 없습니다.

이처럼 Cut-off frequency는 ion들의 비율에 따라 바뀌는것으로 계산되었습니다.

위의 Dispersion relation을 근사 시켜보도록 하겠습니다.

,이므로

그러므로 Cut-off frequency는 WNA과는 상관없고 오직 He과 O Ion의 구성 비율에만 상관이 있습니다.

(Multiful Plasma Polarization)

앞서 Polarization이 -i 면 R모드, i면 L 모드인 것을 계산 했었습니다. 위 그림은 Polarization의 복소수값을 plot한것인데요. 그래프에서 -값인 값들은 R모드이고, +값을 가르치는 값들은 다 L모드 입니다. 위 그림을 보시면 Polarization이 +값에서 -값, 혹은 -값에서 +값으로 바뀌는 지점이 있는데 그 지점을 Cross-over frequency라고 합니다. 바로 저 지점에서 전기장이 반시계 방향(R-mode)으로 돌다 반시계방향(L-mode)으로 혹은 반대로 돌게 됩니다. 25도일때 Dispersion relation을 보면 그래프가 갑자기 방향이 틀어지는 지점과 일치하기도 합니다.

이 Cross-over frequency를 수학적으로 계산하면 이 역시 Ion의 구성비율에만 관계가 있음을 알 수 있습니다.